Introduzione

Si vuole calcolare il numero di riproduzione di base $R$ nel tempo $t$ dato il numero noto di nuovi casi $k$ in $t$.

Si userà la seguente notazione:

  • $X \in (a, b)$: $a < X < b$

  • $X \in [a, b]$: $a \leq X \leq b$

  • $X \in (a, b]$: $a < X \leq b$

  • $X \in [a, b)$: $a \leq X < b$

  • $X_i$: valore della variabile $X$ al tempo $i$

    • $R_t$: valore di $R$ in $t$

    • $k_t$: valore di $k$ in $t$

  • $P(X)$: probabilità a priori che si verifichi $X$

  • $P(X|Y^*)$: probabilità a posteriori che si verifichi $X$ noto il valore di $Y^*$

  • $\mathscr{L}(Y^*|X)$: verosimiglianza (likelihood) del verificarsi noto di $Y^*$ data la variabile aleatoria $X$

  • $\langle X |$: vettore riga $\{X_0 \cdots X_n \}$

  • $| X \rangle$: vettore colonna $\{X_0 \cdots X_n \}^{\mathbf{T}}$

  • $\big| \langle X | \big|$ o $\big| | X \rangle \big|$: modulo del vettore $X$

  • $\overline{X}_{n,m}$: matrice $X$ di $n$ righe e $m$ colonne

  • $\mathscr{N}(\mu,\sigma)$: distributione normale (Gaussiana) avente media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$

  • $\mathscr{P}(X,Y)$: distribuzione di Poisson di $X$ su variabile aleatoria $Y$

Metodo

Si procede calcolando la probabilità a posteriori del verificarsi di $R_t$ dato $k_t^*$ in $t$:

$$ P(R_t|k_t^*) $$

dove con $x^*$ si indica che è l'evento noto (già accaduto).

Per il Teorema di Bayes:

$$ P(A|B^*) = \frac{P(B^*|A) \cdot P(A)}{P(B^*)} $$

quindi

$$ P(R_t|k_t^*) = \frac{P(k_t^*|R) \cdot P(R_t)}{P(k_t^*)} $$

sapendo che

$$ P(k_t^*) = \sum \bigg( P(k_t|R_t) \cdot P(R_t) \bigg) $$

calcolando dunque, per ogni $t$:

  • $P(k_t^*|R)$: la probabilità a posteriori di aver osservato $k_t^*$ nuovi casi dati i possibili valori di $R$, moltiplicato

  • $P(R_t)$: la probabilità a priori dei possibili valori di $R_t$ in $t$ in base al valore calcolato del giorno precedente $R_{t-1}$, diviso

  • $P(k_t^*)$: la probabilità a priori di osservare $k_t^*$ nuovi casi in generale (pari alla sommatoria dei numeratori precedenti)

Costanti

gamma

È noto che $R_t$ dipende da $\gamma$, l'inverso dell'intervallo seriale $T_{serial}$ ovvero il tempo medio tra casi successivi in una catena di trasmissione, spesso calcolato come intervallo tra presunta infezione e comparsa dei sintomi (periodo di contagiosità asintomatico). Per Covid-19 è stato stimato intorno ai $7.5$ giorni:

$$ T_{\textrm{serial}} = 7.5 \; \textrm{days} $$$$ \gamma = \frac{1}{T_{\textrm{serial}}} $$
$ \gamma \simeq 0.1333 $

vettori R

Si crea un vettore riga di tutti i possibili valori di $R$ da $R_{min}$, pari a $0$, ad $R_{max}$ per il quale si può assumere il valore massimo $12$.

$$ R_{min} = 0 ,\; R_{max} = 12 $$$$ \langle R | = \begin{Bmatrix} R_{min} & R_{min}+0.01 & \cdots & R_{max} \end{Bmatrix}_{1,1201} $$
$ \langle R |= \begin{Bmatrix} 0.00 & 0.01 & \cdots & 11.99 & 12.00 \end{Bmatrix}$
$ \big| \langle R | \big| = 1201 $

Sarà utile anche un vettore colonna dei possibili valori di $R$.

$$ | R \rangle = \langle R |^{\mathbf{T}} $$$$ | R \rangle = \begin{Bmatrix} R_{min}\\ \vdots\\ R_{max} \end{Bmatrix}_{1201,1} $$
array([[0.000e+00],
       [1.000e-02],
       [2.000e-02],
       ...,
       [1.198e+01],
       [1.199e+01],
       [1.200e+01]])

Valori noti

Si crea un vettore riga $\langle k_t |$ di tutti i $k$ nuovi casi per giorno da $t=0$ fino a $t=\omega$ (oggi).

$$ t \in [0, \omega] $$$$ \textrm{Nuovi casi al giorno } k_t $$$$ \langle k_t | = \begin{Bmatrix} k_0 & k_1 & \cdots & k_\omega \end{Bmatrix}_{1,\omega} $$
$ \langle k_t | = \begin{Bmatrix} 116 & \cdots & 1346 \end{Bmatrix} $
$ \big| \langle k_t | \big| = 75 $

P(k|R)

Per risolvere $P(k_t^*|R)$ si nota anzitutto che, data una $\lambda$ serie di possibili $k$ nuovi casi

$$ P(k|\lambda) = \mathscr{P}(k, \lambda) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}$$

ovvero, la probabilità a posteriori di avere $k$ nuovi casi dati $\lambda$ possibili valori $k$ è una distribuzione di Poisson.

Sapendo però che il valore di $k$ è noto (tutti i valori di $k^*$ sono nel vettore riga $\langle k_t |$) si può dire che

$$ P(k^*|\lambda) \propto \mathscr{L}(\lambda|k^*) $$

ovvero, la probabilità di aver avuto $k^*$ nuovi casi date $\lambda$ possibilità è proporzionale alla verosimiglianza delle $\lambda$ possibilità noto $k^*$.

Dalla letteratura, è nota la relazione tra $\lambda$, $k_t$ ed $R_t$:

$$ \lambda = k_t \cdot \exp{\big[ \gamma (R_t - 1) \big]} $$

Grazie a questa relazione è possibile dire che

$$ P(k_t^*|R) = P(k_t^*|\lambda) $$

e costruire una matrice $\overline{\lambda}$ di $\omega-1$ righe (perché il primo giorno è di outcome) e $1201$ colonne contenente per ogni giorno $t$ tutti i possibili valori di $\lambda$ dati i possibili $1201$ valori di $R$.

$$ \overline{\lambda} = \langle k_t | \cdot \exp\left[ \gamma (|R\rangle - 1) \right] \\ t=\left[ 0,\omega \right) $$$$ \overline{\lambda} = \begin{Bmatrix} k_0 \cdot e^{\gamma (R_{min} - 1) } & \cdots & k_{n-1} \cdot e^{\gamma (R_{min} - 1) } \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ k_0 \cdot e^{\gamma (R_{max} - 1) } & \cdots & k_{n-1} \cdot e^{\gamma (R_{max} - 1) } \end{Bmatrix}_{\omega-1,1201} $$
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
0 101.520105 121.649091 142.653251 186.411917 227.545063 280.930635 336.066555 393.827994 458.590819 556.610231 ... 1780.977704 1739.844558 1680.332773 1603.317520 1467.665656 1336.389658 1232.244033 1166.606034 1143.851528 1158.729474
1 101.655555 121.811398 142.843582 186.660632 227.848659 281.305459 336.514942 394.353448 459.202681 557.352873 ... 1783.353925 1742.165898 1682.574711 1605.456703 1469.623849 1338.172699 1233.888121 1168.162546 1145.377681 1160.275477
2 101.791187 121.973922 143.034167 186.909679 228.152660 281.680784 336.963928 394.879603 459.815360 558.096506 ... 1785.733316 1744.490335 1684.819640 1607.598740 1471.584654 1339.958120 1235.534403 1169.721135 1146.905869 1161.823543
3 101.926999 122.136662 143.225007 187.159058 228.457066 282.056608 337.413513 395.406460 460.428856 558.841131 ... 1788.115882 1746.817874 1687.067564 1609.743634 1473.548076 1341.745922 1237.182880 1171.281804 1148.436097 1163.373675
4 102.062992 122.299620 143.416101 187.408770 228.761879 282.432935 337.863698 395.934021 461.043171 559.586749 ... 1790.501627 1749.148518 1689.318488 1611.891391 1475.514117 1343.536110 1238.833558 1172.844554 1149.968367 1164.925874
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1196 500.157738 599.326945 702.807856 918.393088 1121.043206 1384.057188 1655.694581 1940.267087 2259.333230 2742.244149 ... 8774.318936 8571.668818 8278.472903 7899.042895 7230.728676 6583.972981 6070.880129 5747.502281 5635.397960 5708.696939
1197 500.825060 600.126580 703.745558 919.618428 1122.538927 1385.903829 1657.903646 1942.855835 2262.347683 2745.902913 ... 8786.025831 8583.105333 8289.518229 7909.581977 7240.376078 6592.757466 6078.980034 5755.170729 5642.916836 5716.313612
1198 501.493272 600.927283 704.684511 920.845404 1124.036644 1387.752933 1660.115658 1945.448037 2265.366159 2749.566559 ... 8797.748345 8594.557106 8300.578291 7920.135120 7250.036351 6601.553672 6087.090747 5762.849408 5650.445743 5723.940447
1199 502.162375 601.729053 705.624717 922.074017 1125.536359 1389.604504 1662.330622 1948.043698 2268.388661 2753.235093 ... 8809.486500 8606.024158 8311.653111 7930.702343 7259.709514 6610.361615 6095.212281 5770.538332 5657.984696 5731.577458
1200 502.832372 602.531894 706.566178 923.304269 1127.038075 1391.458546 1664.548541 1950.642822 2271.415197 2756.908521 ... 8821.240316 8617.506510 8322.742706 7941.283666 7269.395583 6619.181309 6103.344651 5778.237514 5665.533707 5739.224658

1201 rows × 74 columns

Noti i valori della matrice $\overline{\lambda}$ si può dunque applicare la distribuzione di Poisson al vettore riga $\langle k_t |$ con $t \in (0,\omega]$ e ottenere così la matrice $\overline{P(k_t^*|R)}$ di tutte le verosimiglianze dei possibili $1201$ valori di $R$ dati gli $\omega-1$ valori di $k_t^*$:

$$ P\big( \langle k_t | \; \big| \; \overline{\lambda} \big) = \\ = \mathscr{P} \big( \langle k_t |, \overline{\lambda} \big) = \frac{\overline{\lambda}^{\langle k_t |} \cdot e^{-\overline{\lambda}}}{\langle k | !} = \\ = \overline{P(k_t^*|R)}_{\omega-1,1201} $$
data 2020-02-25 18:00:00 2020-02-26 18:00:00 2020-02-27 18:00:00 2020-02-28 18:00:00 2020-02-29 18:00:00 2020-03-01 18:00:00 2020-03-02 18:00:00 2020-03-03 18:00:00 2020-03-04 18:00:00 2020-03-05 18:00:00 ... 2020-04-29 17:00:00 2020-04-30 17:00:00 2020-05-01 17:00:00 2020-05-02 17:00:00 2020-05-03 17:00:00 2020-05-04 17:00:00 2020-05-05 17:00:00 2020-05-06 17:00:00 2020-05-07 17:00:00 2020-05-08 17:00:00
0.00 6.888628e-05 5.485698e-05 8.033341e-09 6.057131e-08 9.226431e-10 8.911921e-10 5.019274e-10 6.098380e-11 8.217766e-16 7.377248e-20 ... 8.272262e-08 0.000001 0.000012 0.001838 0.003126 0.001614 0.000198 0.000003 1.510634e-08 6.195992e-09
0.01 7.240968e-05 5.796015e-05 8.822182e-09 6.680467e-08 1.044869e-09 1.022224e-09 5.840975e-10 7.251698e-11 1.040656e-15 9.931969e-20 ... 1.088465e-07 0.000001 0.000015 0.002025 0.003379 0.001773 0.000226 0.000004 1.918819e-08 7.945186e-09
0.02 7.609954e-05 6.122561e-05 9.686025e-09 7.365506e-08 1.182807e-09 1.171935e-09 6.793131e-10 8.617086e-11 1.316758e-15 1.335814e-19 ... 1.427671e-07 0.000002 0.000018 0.002224 0.003643 0.001944 0.000258 0.000005 2.432342e-08 1.016720e-08
0.03 7.996295e-05 6.466102e-05 1.063175e-08 8.118093e-08 1.338412e-09 1.342900e-09 7.895769e-10 1.023237e-10 1.664752e-15 1.794840e-19 ... 1.866650e-07 0.000002 0.000022 0.002436 0.003917 0.002126 0.000293 0.000006 3.077016e-08 1.298380e-08
0.04 8.400728e-05 6.827436e-05 1.166684e-08 8.944601e-08 1.513873e-09 1.538035e-09 9.171880e-10 1.214191e-10 2.102994e-15 2.409206e-19 ... 2.432859e-07 0.000003 0.000027 0.002661 0.004201 0.002320 0.000333 0.000007 3.884616e-08 1.654642e-08
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
11.96 9.487337e-82 1.488779e-99 1.402953e-104 8.936480e-146 1.713383e-175 6.446011e-223 1.750617e-271 1.185856e-319 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
11.97 5.858945e-82 8.316482e-100 7.296994e-105 3.711617e-146 5.890459e-176 1.696931e-223 3.502540e-272 1.791482e-320 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
11.98 3.614996e-82 4.640723e-100 3.790543e-105 1.539040e-146 2.021050e-176 4.456225e-224 6.987068e-273 2.697598e-321 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
11.99 2.228481e-82 2.586829e-100 1.966594e-105 6.371262e-147 6.920493e-177 1.167343e-224 1.389713e-273 4.051338e-322 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
12.00 1.372532e-82 1.440407e-100 1.019021e-105 2.633233e-147 2.364983e-177 3.050404e-225 2.755953e-274 5.928788e-323 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00

1201 rows × 74 columns

P(R)

La probabilità a priori dei possibili valori $R$ può essere interpretata come una ditribuzione normale (Gaussiana) avente media $\mu = R$ e deviazione standard $\sigma$ che può stimata a $0.25$.

Si può dunque creare una matrice $\overline{P(R)}$ di $1201 \times 1201$ i cui elementi $P(n)_m$ di riga $n$ e colonna $m$ sono la probabilità di $R=n$ con $\mu=m$

$$ \overline{P(R)} = \overline{\mathscr{N}(R,\sigma)} = \\ = \begin{Bmatrix} \mathbf{P(0)_{0}} & \cdots & P(0)_{6} & \cdots & P(0)_{12} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ P(6)_{0} & \cdots & \mathbf{P(6)_{6}} & \cdots & P(6)_{12} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ P(12)_{0} & \cdots & P(12)_{6} & \cdots & \mathbf{P(12)_{12}} \end{Bmatrix}_{1201,1201} $$
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 1191 1192 1193 1194 1195 1196 1197 1198 1199 1200
0 0.031414 0.030434 0.029466 0.028512 0.027571 0.026644 0.025731 0.024832 0.023948 0.023080 ... 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
1 0.031389 0.030458 0.029537 0.028626 0.027726 0.026836 0.025958 0.025092 0.024237 0.023396 ... 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
2 0.031314 0.030434 0.029561 0.028695 0.027837 0.026987 0.026146 0.025314 0.024491 0.023678 ... 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
3 0.031189 0.030361 0.029537 0.028718 0.027904 0.027095 0.026293 0.025496 0.024707 0.023926 ... 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
4 0.031015 0.030240 0.029466 0.028695 0.027926 0.027160 0.026398 0.025640 0.024886 0.024137 ... 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1196 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ... 0.024137 0.024886 0.025640 0.026398 0.027160 0.027926 0.028695 0.029466 0.030240 0.031015
1197 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ... 0.023926 0.024707 0.025496 0.026293 0.027095 0.027904 0.028718 0.029537 0.030361 0.031189
1198 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ... 0.023678 0.024491 0.025314 0.026146 0.026987 0.027837 0.028695 0.029561 0.030434 0.031314
1199 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ... 0.023396 0.024237 0.025092 0.025958 0.026836 0.027726 0.028626 0.029537 0.030458 0.031389
1200 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 ... 0.023080 0.023948 0.024832 0.025731 0.026644 0.027571 0.028512 0.029466 0.030434 0.031414

1201 rows × 1201 columns

P(R|k)

È dunque possibile ora creare una matrice vuota $\overline{P(R_t|k_t^*)}$ di $1201 \times \omega$ i cui elementi $P(R_n)_m$ di riga $n$ e colonna $m$ saranno i valori della probabilità di $R=m$ al tempo $t=n$.

$$ \overline{P(R_t|k_t^*)} = \begin{Bmatrix} P(R_0)_{0} & P(R_1)_{0} & \cdots & P(R_n)_{0} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ P(R_0)_{6} & P(R_1)_{6} & \cdots & P(R_n)_{6} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ P(R_0)_{12} & P(R_1)_{12} & \cdots & P(R_n)_{12} \end{Bmatrix}_{1201,n} $$

Non avendo alcuna informazione precedente a $t=0$, si imposta la probabilità iniziale della prima colonna $| P(R_0|k_0^*) \rangle$ ovvero degli elementi $P(R_0)_m$ come costante in modo che $\sum P(R_0)_m = 1$:

$$ P(R_0)_{m} = \frac{1}{ \bigg| \; \langle R | \; \bigg| }$$
array([0.00083264, 0.00083264, 0.00083264, ..., 0.00083264, 0.00083264,
       0.00083264])
data 2020-02-24 18:00:00 2020-02-25 18:00:00 2020-02-26 18:00:00 2020-02-27 18:00:00 2020-02-28 18:00:00 2020-02-29 18:00:00 2020-03-01 18:00:00 2020-03-02 18:00:00 2020-03-03 18:00:00 2020-03-04 18:00:00 ... 2020-04-29 17:00:00 2020-04-30 17:00:00 2020-05-01 17:00:00 2020-05-02 17:00:00 2020-05-03 17:00:00 2020-05-04 17:00:00 2020-05-05 17:00:00 2020-05-06 17:00:00 2020-05-07 17:00:00 2020-05-08 17:00:00
0.00 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
0.01 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
0.02 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
0.03 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
0.04 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
11.96 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
11.97 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
11.98 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
11.99 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN
12.00 0.000833 NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN ... NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN NaN

1201 rows × 75 columns

Per ogni giorno $t \in (0, \omega]$ si calcola la probabilità di $R_t$ basata sulla distribuzione normale del giorno precedente $t-1$

$$ | P(R_t)_m \rangle = \overline{P(R)} \cdot | P(R_{t-1})_m \rangle = \\ = \begin{Bmatrix} P(0)_{0} & \cdots & P(0)_{12} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ P(12)_{0} & \cdots & P(12)_{12} \end{Bmatrix}_{1201,1201} \cdot \begin{Bmatrix} P(R_{t-1})_0 \\ \vdots \\ P(R_{t-1})_{12} \end{Bmatrix}_{1201,1} = \\ = \begin{Bmatrix} P(R_{t})_0 \\ \vdots \\ P(R_{t})_{12} \end{Bmatrix}_{1201,1} $$

e si moltiplica per $| P(k_t^*|R) \rangle$ calcolato in precedenza, ottenendo così il numeratore della funzione 1:

$$ | P(k_t^*|R) \rangle \cdot | P(R_t)_m \rangle $$

Il denomiatore $P(k_t^*)$ è la sommatoria dei numeratori precedenti:

$$ P(k_t^*) = \sum_{i=0}^{t} \bigg( | P(k_i^*|R) \rangle \cdot | P(R_i)_m \rangle \bigg) $$

ottenendo dunque per ogni giorno $t$ la probabilità

$$ | P(R_t|k_t^*) \rangle = \frac{ | P(k_t^*|R) \rangle \cdot | P(R_t)_m \rangle }{ \sum_{i=0}^{t} \bigg( | P(k_i^*|R) \rangle \cdot | P(R_i)_m \rangle \bigg) } $$
data 2020-02-24 18:00:00 2020-02-25 18:00:00 2020-02-26 18:00:00 2020-02-27 18:00:00 2020-02-28 18:00:00 2020-02-29 18:00:00 2020-03-01 18:00:00 2020-03-02 18:00:00 2020-03-03 18:00:00 2020-03-04 18:00:00 ... 2020-04-29 17:00:00 2020-04-30 17:00:00 2020-05-01 17:00:00 2020-05-02 17:00:00 2020-05-03 17:00:00 2020-05-04 17:00:00 2020-05-05 17:00:00 2020-05-06 17:00:00 2020-05-07 17:00:00 2020-05-08 17:00:00
0.00 0.000833 8.969109e-06 7.001293e-08 5.682155e-13 1.471309e-15 2.373283e-18 2.304881e-19 1.660808e-19 6.101498e-20 1.821814e-24 ... 4.706259e-08 1.063809e-07 0.000001 0.000566 0.003040 0.002145 0.000267 0.000003 2.762893e-09 7.751081e-11
0.01 0.000833 9.680983e-06 7.777134e-08 6.738606e-13 1.839131e-15 3.116755e-18 3.126483e-19 2.303332e-19 8.663181e-20 2.762071e-24 ... 6.624745e-08 1.476948e-07 0.000002 0.000673 0.003444 0.002443 0.000317 0.000004 3.795479e-09 1.104574e-10
0.02 0.000833 1.043647e-05 8.631697e-08 7.986844e-13 2.297187e-15 4.089240e-18 4.236168e-19 3.190303e-19 1.228256e-19 4.180863e-24 ... 9.284835e-08 2.041786e-07 0.000002 0.000798 0.003888 0.002773 0.000375 0.000004 5.197892e-09 1.569160e-10
0.03 0.000833 1.123719e-05 9.572276e-08 9.460872e-13 2.867172e-15 5.360049e-18 5.733232e-19 4.413119e-19 1.738883e-19 6.318248e-24 ... 1.295654e-07 2.810586e-07 0.000003 0.000943 0.004372 0.003136 0.000443 0.000006 7.096507e-09 2.222175e-10
0.04 0.000833 1.208479e-05 1.060679e-07 1.120058e-12 3.575889e-15 7.019087e-18 7.750589e-19 6.096730e-19 2.458225e-19 9.532931e-24 ... 1.800163e-07 3.852327e-07 0.000004 0.001109 0.004898 0.003533 0.000521 0.000007 9.658671e-09 3.137088e-10
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
11.96 0.000833 1.364792e-82 7.782483e-159 4.771386e-201 1.103598e-256 2.743269e-304 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
11.97 0.000833 8.233572e-83 3.143614e-159 1.504944e-201 2.569327e-257 4.875887e-305 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
11.98 0.000833 4.957688e-83 1.267855e-159 4.737749e-202 5.967656e-258 8.642261e-306 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
11.99 0.000833 2.979421e-83 5.105509e-160 1.488671e-202 1.382811e-258 1.527525e-306 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00
12.00 0.000833 1.787060e-83 2.052751e-160 4.668741e-203 3.196651e-259 2.692374e-307 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 ... 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000e+00 0.000000e+00

1201 rows × 75 columns